Wie Optionen bewertet werden: Binomialbaum, Black-Scholes und Put-Call-Parität

Stell dir vor, jemand bietet dir eine Wette an: In einem Jahr bekommst du 20 €, falls eine Aktie gestiegen ist, sonst nichts. Wie viel ist dir das heute wert? Die naheliegende Antwort lautet: Kommt darauf an, wie wahrscheinlich ein Anstieg ist. Die überraschende Antwort der Finanzmathematik lautet: Nein, das ist egal. Der faire Preis lässt sich berechnen, ohne zu wissen, wohin die Aktie läuft.

Diese Einsicht war in den 1970er-Jahren eine Revolution. Sie machte aus dem Optionshandel – bis dahin eher Glücksspiel unter Händlern – einen der größten Finanzmärkte der Welt. In dieser Lektion bauen wir sie Schritt für Schritt nach.

Ein Baum mit zwei Ästen#

Wir starten mit dem einfachsten denkbaren Modell, dem Binomialmodell. Eine Aktie kostet heute 100 €. In einem Jahr steht sie entweder bei 120 € oder bei 80 €. Der Einfachheit halber ist der Zins zunächst null.

Ein Call mit Basispreis 100 € zahlt dann entweder 20 € (wenn die Aktie bei 120 € steht) oder 0 € (bei 80 €).

Den Call nachbauen#

Der Trick heißt Replikation: Wir bauen dieselbe Auszahlung aus Dingen nach, deren Preis wir kennen – Aktien und einem Kredit.

1. Die Aktie schwankt um 40 € (zwischen 120 € und 80 €), der Call um 20 €. Wir brauchen also 0,5 Aktien pro Call. Dieses Verhältnis ist das Delta.
2. 0,5 Aktien sind in einem Jahr 60 € oder 40 € wert. Der Call zahlt 20 € oder 0 €. Der Unterschied beträgt in beiden Welten genau 40 €.
3. Also leihen wir uns heute 40 € und zahlen sie in einem Jahr zurück. Dann bleiben 20 € oder 0 € – exakt die Auszahlung des Calls.

Kosten dieses Nachbaus heute: 0,5 × 100 € = 50 € für die Aktien, minus 40 € Kredit = 10 €. Genau das muss der Call kosten. Kostete er 12 €, könnte man ihn verkaufen, den Nachbau für 10 € kaufen und 2 € risikolos einstreichen – Händler würden das so lange tun, bis der Preis wieder bei 10 € liegt. Diese Logik heißt Arbitragefreiheit.

Risikoneutrale Bewertung#

Man kann dasselbe Ergebnis eleganter ausrechnen. Wir tun so, als wären alle Anleger völlig gleichgültig gegenüber Risiko. Dann müsste jede Anlage im Schnitt genau den risikolosen Zins bringen. Für unsere Aktie bei 0 % Zins heißt das: Die Wahrscheinlichkeit q für den Anstieg muss so sein, dass der erwartete Kurs 100 € beträgt.

Der Call ist dann der abgezinste Erwartungswert seiner Auszahlung: 0,5 × 20 € + 0,5 × 0 € = 10 €. Dasselbe Ergebnis wie beim Nachbau.

Mit Zins ändert sich die Rechnung nur leicht. Bei 5 % muss die Aktie im risikoneutralen Mittel 105 € erreichen. Das ergibt q = (1,05 − 0,8) ÷ (1,2 − 0,8) = 0,625, und der Call kostet 0,625 × 20 € ÷ 1,05 = 11,90 €. Höhere Zinsen machen Calls also etwas teurer – weil der Kredit im Nachbau weniger kostet.

Vom Baum zur Black-Scholes-Formel#

Zwei Zustände in einem Jahr sind natürlich unrealistisch. Teilt man das Jahr aber in viele kleine Schritte – Tage, Stunden, Sekunden –, und darf die Aktie in jedem Schritt ein Stückchen steigen oder fallen, entsteht ein Baum mit unzähligen Endpunkten. Im Grenzfall unendlich vieler Schritte folgen die Kurse einer Lognormalverteilung, und aus dem Baum wird eine geschlossene Formel: die Black-Scholes-Formel.

Dabei ist S der Aktienkurs, K der Basispreis, T die Laufzeit in Jahren, r der Zins, σ die Volatilität und N die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Die Formel sieht einschüchternd aus, folgt aber derselben Logik wie unser Baum:

• N(d₁) ist das Delta – die Zahl der Aktien im Nachbau. S × N(d₁) ist also der Aktienteil.
• K × e^−rT × N(d₂) ist der Kreditteil: der abgezinste Basispreis, gewichtet mit N(d₂), der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit, dass der Call ausgeübt wird.

Von den fünf Eingaben sind vier am Markt direkt ablesbar. Nur die künftige Volatilität ist unbekannt. In der Praxis dreht man die Formel deshalb meist um: Aus dem Marktpreis einer Option berechnet man, welche Volatilität der Markt erwartet – die implizite Volatilität. Händler notieren Optionen oft gar nicht in Euro, sondern direkt in Volatilitätspunkten.

Die Put-Call-Parität#

Eine der schönsten Beziehungen der Finanzmathematik kommt ganz ohne Modell aus. Kaufst du einen Call und verkaufst einen Put mit gleichem Basispreis und gleicher Laufzeit, hast du bei Fälligkeit immer genau eine Aktie zum Preis K gekauft – egal, wo die Aktie steht: Liegt sie über K, übst du den Call aus; liegt sie darunter, wird dir die Aktie über den Put angedient.

Diese Kombination muss also so viel kosten wie die Aktie heute, abzüglich des Barwerts des Basispreises, den du erst später zahlst:

Put-Call-Parität gilt unabhängig von jedem Modell, solange man die Aktie leihen und Geld zum Zins anlegen kann. Weicht der Markt ab, kaufen Arbitrageure die billige Seite und verkaufen die teure – innerhalb von Sekundenbruchteilen.

Wo das Modell an Grenzen stößt#

Black-Scholes beruht auf vereinfachenden Annahmen: konstante Volatilität, keine Kurssprünge, normal verteilte Renditen, keine Transaktionskosten, jederzeit möglicher Handel. Die Wirklichkeit weicht davon ab, und der Markt weiß das:

• Volatilitäts-Smile und Skew: Würde Black-Scholes perfekt passen, hätten alle Optionen auf eine Aktie dieselbe implizite Volatilität. Seit dem Crash von 1987 sind Puts weit aus dem Geld aber systematisch „teurer“. Anleger zahlen für Crashschutz, und echte Kursverteilungen haben dicke Enden.
• Kurssprünge: Bei Übernahmen, Gewinnwarnungen oder Pleiten springt ein Kurs, statt sich in kleinen Schritten zu bewegen. Ein perfekter Nachbau ist dann unmöglich.
• Amerikanische Optionen: Die meisten Aktienoptionen dürfen jederzeit ausgeübt werden, nicht nur am Ende. Für sie nutzt man Binomialbäume, in denen man an jedem Knoten prüft, ob vorzeitige Ausübung besser ist.

Zusammenfassung#

Optionen lassen sich aus Aktie und Kredit nachbauen. Weil Gleiches gleich viel kosten muss, ergibt sich ihr Preis aus dem Aktienkurs – ohne Prognose über die Richtung. Die risikoneutrale Bewertung ist der Rechentrick dahinter, die Black-Scholes-Formel der Grenzfall unendlich vieler kleiner Schritte, und die Put-Call-Parität verbindet Calls und Puts unverrückbar. Was das Modell nicht weiß, steckt in der impliziten Volatilität – und in ihrem schiefen Lächeln.