Duration, Konvexität und Zinsrisiko

In der Lektion über Anleihen hast du die wichtigste Regel des Anleihemarkts kennengelernt: Steigen die Zinsen, fallen die Kurse – und wie stark, verrät die Duration. Für den Alltag reicht diese Faustregel. Wer aber verstehen will, warum lange Anleihen 2022 teils mehr als 40 % verloren, wie Versicherungen ihre Zusagen absichern oder welcher Anleihe-ETF zum eigenen Anlagehorizont passt, braucht die Mathematik dahinter. Sie ist einfacher, als sie klingt.

Macaulay-Duration: die durchschnittliche Wartezeit#

Eine Anleihe ist eine Abfolge von Zahlungen: jedes Jahr ein Kupon, am Ende der Kupon plus Nennwert. Der Ökonom Frederick Macaulay fragte 1938: Wie lange wartet man im Durchschnitt auf sein Geld – wenn man jede Zahlung mit ihrem heutigen Wert gewichtet?

Nehmen wir eine Anleihe mit drei Jahren Laufzeit, 5 % Kupon und einem Marktzins von ebenfalls 5 %. Sie kostet genau 100 €.

Die Macaulay-Duration beträgt 2,86 Jahre. Sie liegt knapp unter der Laufzeit, weil ein Teil des Geldes schon früher zurückfließt. Daraus folgen drei einfache Regeln:

• Eine Nullkuponanleihe hat nur eine Zahlung – ihre Duration entspricht genau der Laufzeit.
• Höhere Kupons senken die Duration, weil mehr Geld früher zurückkommt.
• Höhere Marktzinsen senken die Duration ebenfalls: Späte Zahlungen werden stärker abgezinst und zählen weniger.

Modifizierte Duration: die Kursempfindlichkeit#

Für Anleger interessanter ist die Frage: Um wie viel Prozent bewegt sich der Kurs, wenn sich der Zins ändert? Dafür teilt man die Macaulay-Duration durch (1 + Rendite) und erhält die modifizierte Duration:

Steigt der Marktzins um einen Prozentpunkt auf 6 %, fällt der Kurs unserer Anleihe nach dieser Rechnung um etwa 2,72 %. Exakt sind es 2,67 % – die Schätzung ist für kleine Änderungen sehr gut.

Der Basispunktwert (DV01)#

Händler und Banken denken nicht in Prozent, sondern in Geld. Der Basispunktwert (englisch DV01, „dollar value of one basis point“) gibt an, wie viel eine Position bei einer Zinsänderung von 0,01 Prozentpunkten gewinnt oder verliert:

Bei 1 Million € in unserer Anleihe sind das 2,72 × 1.000.000 € × 0,0001 ≈ 272 € pro Basispunkt. Steigen die Zinsen an einem Tag um 10 Basispunkte, verliert die Position rund 2.720 €. Mit dem DV01 lassen sich Positionen unterschiedlicher Laufzeit direkt vergleichen und gegeneinander absichern.

Probier es selbst: Wähle 0 % Kupon und 30 Jahre Laufzeit, dann siehst du, wie extrem eine lange Nullkuponanleihe auf Zinsen reagiert.

Konvexität: Warum die Kurve gekrümmt ist#

Die Duration beschreibt eine gerade Linie. Der tatsächliche Zusammenhang zwischen Zins und Kurs ist aber gekrümmt – bei sinkenden Zinsen steigt der Kurs immer steiler, bei steigenden Zinsen fällt er immer flacher. Diese Krümmung heißt Konvexität.

Mit Konvexität wird die Schätzung genauer:

Konvexität ist für Anleihebesitzer also etwas Gutes – eine Art Gratis-Bonus bei großen Zinsbewegungen. Entsprechend hat sie einen Preis: Anleihen mit hoher Konvexität rentieren bei sonst gleichen Eigenschaften etwas niedriger.

Die Grenzen der Duration#

Die Duration geht davon aus, dass sich alle Zinsen gleichzeitig um denselben Betrag verschieben. In Wirklichkeit dreht und biegt sich die Zinskurve: Kurze Zinsen steigen, lange fallen, oder umgekehrt. Profis messen deshalb zusätzlich Key-Rate-Durations – die Empfindlichkeit gegenüber Zinsänderungen an einzelnen Punkten der Kurve (2, 5, 10, 30 Jahre).

Auch das Kreditrisiko steckt nicht in der Duration. Eine Unternehmensanleihe kann trotz fallender Staatsanleihezinsen verlieren, wenn sich ihr Risikoaufschlag ausweitet.

Immunisierung: Zinsrisiko neutralisieren#

Steigende Zinsen haben für Anleihebesitzer zwei gegenläufige Effekte. Der Kurs fällt sofort – aber alle künftigen Kupons können zu höheren Zinsen angelegt werden. Bei fallenden Zinsen ist es umgekehrt. Ist der Anlagehorizont gleich der Macaulay-Duration, gleichen sich beide Effekte ungefähr aus. Das Ergebnis am Ende des Horizonts ist dann weitgehend unabhängig davon, wie sich die Zinsen entwickeln.

Diese Immunisierung nutzen Versicherungen und Pensionskassen, um künftige Zahlungsversprechen abzusichern. Für Privatanleger lässt sich daraus eine praktische Regel ableiten:

Zusammenfassung#

Die Macaulay-Duration ist die barwertgewichtete Wartezeit auf das Geld einer Anleihe, die modifizierte Duration ihre Kursempfindlichkeit, der Basispunktwert dieselbe Information in Euro. Konvexität korrigiert die lineare Schätzung und macht große Zinssenkungen wertvoller als gleich große Zinsanstiege schädlich. Und wer die Duration an seinen Anlagehorizont anpasst, verwandelt Zinsrisiko weitgehend in Planungssicherheit.